[python/파이썬] 소표본에서 두 모분산은 모르지만 모분산이 다를 경우 두 모평균 차이 검정 예제

통계초등학교 2학년 학생 16명의 키를 조사한 결과,

표본평균은 약 130cm이고, 표본표준편차는 약 8cm였습니다.

다만, 모평균도 모분산도 모릅니다.

확률초등학교 2학년 학생 12명의 키를 조사한 결과,

표본평균은 약 125cm, 표본표준편차는 약 6cm였습니다.

다만, 모평균도 모분산도 모릅니다.

 

참고로 평균과 표준편차를 원하는 수치에 근사하여 생성하는 방법은 다음과 같습니다.

상세한 설명은

아래 글을 참고 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/44

[python/파이썬] 모분산을 아는 경우 모평균 검정 예제

 

두 초등학교의 모평균과 모분산은 모르지만,

두 초등학교의 분포는 정규분포를 따르며,

모분산은 다르다고 가정하겠습니다. 

 

모분산을 모르는 상태에서

모분산은 다르다고 가정하기 위해서는

F분포를 통해 동일한 분산(등분산)인지 확인해야 합니다.

 

예제의 경우는 모분산은 다르다는 사실은

확인 되었다는 가정 하에 진행합니다.

 

이 경우,

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균이 130cm이고,

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균이 125cm이므로,

통계초등학교 학생이 확률초등학교 학생보다 키가 크다고 할 수 있을까요?

 

 

모수에 대해서 펼치는 주장을 가설이라고 합니다.

 

모수에 대해서 새로운 주장을 한다면,

기존의 주장과는 대립되므로 대립가설이라고 합니다.

 

만약 대립가설이 타당하지 않다면,

기존의 주장으로 돌아가게 되므로, 기존의 주장을 귀무(歸無)가설이라고 합니다.

돌아갈 귀(歸)와 없을 무(無)의 귀무이며,

돌아가서 보니 변한 건 없다는 의미입니다.

 

 

<가설검정 1단계> 귀무가설과 대립가설 설정

 

귀무가설은 다음과 같습니다.

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균과,

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균이 같다.

 

대립가설은 다음과 같습니다.

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균은

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균보다 크다.

 

 

이제는 새로운 주장인 대립가설이 맞는지 확인할 통계 수단을 찾아야 합니다.

 

우리는 제시된 표본의 크기가 30 미만이므로,

통계적으로는 소표본에 해당됩니다.

 

우리는 통계초등학교와 확률초등학교 비교를 위해

서로 독립적인 표본들을 비교하므로

독립표본입니다. 

 

 

<가설검정 2단계> 검정통계량 설정

 

표본의 수가 30미만인 소표본이므로,

t검정통계량을 사용하기로 합니다.

 

이를 가설을 검정할 때 사용하는 통계량이므로,

검정통계량이라고 합니다.

소표본에서 두 모분산을 모르지만 같다는 것을 아는 경우와의 차이점은

합동분산이 아니라 각각의 표본분산이 들어간다는 점입니다.

 

이는 대표본에서 두 분산을 모르는 경우

두 모평균 차이 검정과 같은 식입니다. 

 

다만 가설검정할 시에

대표본은 Z분포를 활용하며,

소표본은 t분포를 활용합니다.

 

소표본에 사용되는 t분포는,

아래 글을 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/42

[python/파이썬] t분포

 

우리는 가설이 타당한지 여부를 결정해 줄 검정통계량으로

t분포를 정했습니다.

 

t분포는 그래프의 면적이 확률을 나타내는 확률분포이며,

그래프의 개형은 다음과 같습니다.

 

t분포는 자유도에 따라 개형을 달리합니다.

 

두 모분산을 모르지만,

두 모분산이 같은 경우의 예제에서의 자유도는 

통계초등학교 표본수(16)에서 1을 빼고,

확률초등학교 표본수(12)에서 1을 빼서 더한 26이었습니다. 

 

그러나 두 모분산을 모르지만,

두 모분산이 다른 경우의 예제에서의 자유도는 

별도의 계산식이 있습니다.

자유도 계산 결과는 다음과 같습니다.

자유도에 대한 설명은

아래글을 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/39

[python/파이썬] 카이제곱분포로 가는 표본분산 분포의 평균

 

t분포는 평균이 0인 좌우대칭이며,

기준인 0을 중심으로 +1, -1 사이에 많은 자료값들이 분포가 되어있습니다.

 

t분포는 정규분포와 유사하지만,

정규분포와는 다른 대표적인 비정규분포입니다.

 

그래프 아래의 면적이 곧 확률이므로,

기준에서 멀어질수록 확률은 줄어들게 됩니다.

 

일반적으로는 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

통계적으로는 발생할 확률이 없다고 판단합니다.

 

만약 우리가 통계초등학교와 확률초등학교가

같다와 같지 않다만 비교한다면,

양 극단의 2.5%만 비교합니다. 

 

지금은 통계초등학교와 확률초등학교 중에서

통계초등학교가 더 큰지 여부를 비교하므로,

오른쪽 극단의 5%만 비교합니다.

오른쪽 극단의 5%에 해당하는 t통계량 값은 다음과 같습니다.

참고로,  확률초등학교의 평균이 더 큰 경우라면,

자료의 순서를 변경하거나,

아니면 왼쪽 극단의 5%에 해당하는 t통계량으로 비교합니다.

 

t분포는 0을 기준으로 좌우대칭이므로,

왼쪽 극단의 5%는 오른쪽 극단과 같은 값이나

부호를 달리합니다.

 

<가설검정 3단계> 유의수준 설정

 

우리는 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

가설을 받아들이지 않기로 하였습니다. 

 

이때 기준이 되는 확률이 바로 유의수준입니다.

 

유의수준은 보통 %로 표시하지 않고,

소수점으로 표현하므로

5% 대신 0.05로 표기합니다.

 

만약 두 초등학교의 평균이 같다고 가정한

t통계량이 5% 이내의 구간에 포함된다면,

기존가설(귀무가설)을 받아들이지 않기로 하겠습니다.

 

우리는 현재 두 초등학교를 비교하는 중이며,

두 초등학교의 평균이 같다고 가정한 기존 가설의 발생확률이

5%도 되지 않는다면,

기존가설을 받아들이지 않는 것이 타당하기 때문입니다.

 

그러나 우리가 기준으로 삼은 검정통계량이

1.7056179197592727 보다 작은 경우로서,

발생할 확률이 5%가 넘는다면

기존 귀무가설을 받아들이도록 하겠습니다.

 

 

<가설검정 4단계> 검정통계량 계산

이번 예제의 검정통계량 값은 약 1.889822입니다.

 

직접 수식에 대입하여 얻은 결과는 다음과 같습니다.

scipy를 활용하여 독립표본인 t통계량을 구하는

ttest_ind를 활용해도 결과는 같습니다.

ttest_int의 인자 중 

equal_var는 등분산 여부를 묻는 것으로서,

두 모분산이 다르다는 가정이므로 False를 입력하였습니다. 

 

ttest_ind의 인자 중

alternative는 양측검정인지, 단측검정인지 여부를 묻는 것으로서,

양측검정이면 'two-sided'를,

단측검정 중 ~보다 크다에 대한 검정이면 'greater'

단측검정 중 ~보다 작다에 대한 검정이면 'less'를 입력합니다.

 

일부 소수점 차이는 있으나,

직접 대입하는 과정에서 입력된 소수점의 차이이며,

같은 방식으로 계산된 결과입니다.

 

<가설검정 5단계> 통계적 판단

우리는 기준으로 삼은 검정통계량이

1.7056179197592727 보다 큰 경우에만

기존 귀무가설을 받아들이지 않기로 하였습니다.

 

검정통계량이 1.8901934602798이고

1.7056179197592727 보다 크므로,

통계초등학교와 확률초등학교의 평균이 같다는

기존 귀무가설을 받아들일 수 없습니다.

 

이를 통계적인 표현으로는

귀무가설을 기각한다고 표현합니다.

 

가설의 기각여부는 귀무가설을 중심으로 표현하지만,

결론은 대립가설을 기준으로 표현합니다. 

 

따라서 이번 예제의 결론은 다음과 같습니다. 

 

유의수준 5%에서 검정결과,

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균은

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균보다 크다는

대립가설을 채택합니다.