[python/파이썬] 대표본에서 두 모분산을 모르는 경우 두 모평균 차이 검정 예제

통계초등학교 2학년 학생 30명의 키를 조사한 결과,

표본평균은 약 130cm, 표본표준편차는 약 15cm였습니다.

다만, 모평균도 모분산도 모릅니다.

확률초등학교 2학년 학생 30명의 키를 조사한 결과,

표본평균은 약 125cm, 표본표준편차는 약 12cm였습니다.

다만, 모평균도 모분산도 모릅니다.

평균과 표준편차를 원하는 수치에 근사하여 생성하는 방법은 다음과 같습니다.

상세한 설명은

아래 글을 참고 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/44

[python/파이썬] 모분산을 아는 경우 모평균 검정 예제

 

모평균과 모분산을 모르는 상태에서

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균이 130cm이고,

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균이 125cm이므로,

통계초등학교 학생이 확률초등학교 학생보다 키가 크다고 할 수 있을까요?

 

모수에 대해서 펼치는 주장을 가설이라고 합니다.

 

모수에 대해서 새로운 주장을 한다면,

기존의 주장과는 대립되므로 대립가설이라고 합니다.

 

만약 대립가설이 타당하지 않다면,

기존의 주장으로 돌아가게 되므로, 기존의 주장을 귀무(歸無)가설이라고 합니다.

돌아갈 귀(歸)와 없을 무(無)의 귀무이며,

돌아가서 보니 변한 건 없다는 의미입니다.

 

 

<가설검정 1단계> 귀무가설과 대립가설 설정

 

귀무가설은 다음과 같습니다.

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균과,

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균이 같다.

 

대립가설은 다음과 같습니다.

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균은

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균보다 크다.

 

 

이제는 새로운 주장인 대립가설이 맞는지 확인할 통계 수단을 찾아야 합니다.

 

우리는 제시된 표본의 크기가 30 이상이므로,

통계적으로는 대표본에 해당됩니다.

 

우리는 통계초등학교와 확률초등학교 비교를 위해

서로 독립적인 표본들을 비교하므로

독립표본입니다. 

 

 

<가설검정 2단계> 검정통계량 설정

 

표본의 수가 30이상인 대표본이므로,

Z 통계량을 사용하기로 합니다.

 

이를 가설을 검정할 때 사용하는 통계량이므로,

검정통계량이라고 합니다.

평균을 0으로, 표준편차를 1로 표준화한 표준정규분포는,

아래 링크를 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/32

[python/파이썬] 정규분포

 

우리는 가설이 타당한지 여부를 결정해 줄 검정통계량으로

Z분포를 정했습니다.

 

Z분포는 그래프의 면적이 확률을 나타내는 확률분포이며,

그래프의 개형은 다음과 같습니다.

평균을 0으로, 표준편차를 1로 표준화하였으므로,

좌우대칭인 정규분포에서 기준은 0이 되며,

기준을 중심으로 +1, -1 사이에 자료값들이 분포가 되어있습니다.

 

그래프 아래의 면적이 곧 확률이므로,

기준에서 멀어질수록 확률은 줄어들게 됩니다.

 

일반적으로 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

통계적으로는 발생할 확률이 없다고 판단합니다.

 

만약 우리가 통계초등학교와 확률초등학교가

같다와 같지 않다만 비교한다면,

양 극단의 2.5%만 비교합니다. 

 

지금은 통계초등학교와 확률초등학교 중에서

통계초등학교가 더 큰지 여부를 비교하므로,

오른쪽 극단의 5%만 비교합니다.

 

오른쪽 극단의 5%에 해당하는 Z통계량 값은 다음과 같습니다.

실제 모든 소수점을 표기하기 번거로우므로,

보통 + 1.645으로 표기합니다.

 

참고로,  확률초등학교의 평균이 더 큰 경우라면,

자료의 순서를 변경하거나,

아니면 왼쪽 극단의 2.5%에 해당하는 Z통계량으로 비교합니다.

 

 

<가설검정 3단계> 유의수준 설정

 

우리는 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

가설을 받아들이지 않기로 하였습니다. 

 

이때 기준이 되는 확률이 바로 유의수준입니다.

 

유의수준은 보통 %로 표시하지 않고,

소수점으로 표현하므로

5% 대신 0.05로 표기합니다.

 

만약 두 초등학교의 평균이 같다고 가정한

Z통계량이 5% 이내의 구간에 포함된다면,

기존가설(귀무가설)을 받아들이지 않기로 하겠습니다.

 

우리는 현재 두 초등학교를 비교하는 중이며,

두 초등학교의 평균이 같다고 가정한 기존 가설의 발생확률이

5%도 되지 않는다면,

기존가설을 받아들이지 않는 것이 타당하기 때문입니다.

 

그러나 우리가 기준으로 삼은 검정통계량이

1.6448536269514722 보다 작은 경우로서,

발생할 확률이 5%가 넘는다면

기존 귀무가설을 받아들이도록 하겠습니다.

 

 

<가설검정 4단계> 검정통계량 계산

이번 예제의 검정통계량 값은 약 1.42566입니다.

 

파이썬에서는 Z 검정통계량을 별도로 계산해 주는 메서드는 없으므로,

직접 수식에 대입하여 값을 얻습니다.

 

<가설검정 5단계> 통계적 판단

우리는 기준으로 삼은 검정통계량이

1.6448536269514722 보다 큰 경우에만

기존 귀무가설을 받아들이지 않기로 하였습니다.

 

검정통계량이 1.4256648712805이고

1.6448536269514722 보다 작으므로

통계초등학교와 확률초등학교의 평균이 같다는

기존 귀무가설을 받아들이도록 하겠습니다.

 

이를 통계적인 표현으로는

귀무가설을 채택한다고 표현합니다.

 

가설의 기각여부는 귀무가설을 중심으로 표현하지만,

결론은 대립가설을 기준으로 표현합니다. 

 

따라서 이번 예제의 결론은 다음과 같습니다. 

 

유의수준 5%에서 검정결과,

통계초등학교 2학년 학생의 키의 평균은

확률초등학교 2학년 학생의 키의 평균보다 크다는

대립가설을 기각합니다.