[python/파이썬] 모분산 검정 예제

통계초등학교 학생의 몸무게를 재는 저울이 있습니다. 

이 저울의 오차범위 ±1kg 내외일 때 정상으로 봅니다. 

그러나 오랜 사용으로 인해 오차범위가 ±1kg를 넘어가므로,

새로운 저울을 구매해야 한다는 주장이 재기되었습니다. 

 

이를 위해 실제 오차범위가 ±1kg이 넘어가는지 확인하기 위해,

몸무게가 30kg인 학생의 몸무게를 5번 재보았습니다. 

이 표본의 표준편차는 다음과 같았습니다. 

표본분산을 구하는 과정에서 ddof를 1로 입력하는 이유는

아래 글을 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/43

[python/파이썬] F분포

 

다시 예제로 돌아와서,

5번 저울을 재본 결과,

정상인 저울의 오차범위인 ±1kg의 두 배가 넘는 편차(1.2kg)가 나왔습니다.

 

오차범위를 벗어난 저울이므로,

새로운 저울을 구매해야 한다는 주장은 타당할까요?

 

여기서 오차범위는 표준편차로 해석할 수 있으며,

정상 오차범위의 제곱인 1(1kg²)을 모분산으로 볼 수 있습니다. 

 

모분산도 모수의 일종이며,

모수에 대해서 펼치는 주장을 가설이라고 합니다.

 

모수에 대해서 새로운 주장을 한다면,

기존의 주장과는 대립되므로 대립가설이라고 합니다.

 

만약 대립가설이 타당하지 않다면,

기존의 주장으로 돌아가게 되므로, 기존의 주장을 귀무(歸無)가설이라고 합니다.

돌아갈 귀(歸)와 없을 무(無)의 귀무이며,

돌아가서 보니 변한 건 없다는 의미입니다.

 

 

<가설검정 1단계> 귀무가설과 대립가설 설정

 

귀무가설은 다음과 같습니다.

통계초등학교의 저울의 분산은

정상저울의 기준이 되는 분산과 같다.

 

대립가설은 다음과 같습니다.

통계초등학교 저울의 분산은

정상저울의 기준이 되는 분산과 다르다.

 

이제는 새로운 주장인 대립가설이 맞는지 확인할 통계 수단을 찾아야 합니다.

 

만약 대립가설이

'통계초등학교 저울의 분산이

정상저울의 기준이 되는 분산보다 크다'라면

통계초등학교 저울이 정상저울의 분산보다 큰 경우만을 검정하므로,

단측검정이 됩니다.

 

사례의 경우는

통계초등학교의 저울이 정상저울의 분산보다 큰 경우와,

정상저울의 분산보다 작은 경우를 모두 포괄하므로

양측검정이 됩니다.

 

 

<가설검정 2단계> 검정통계량 설정

 

예제는 분산에 대한 검정이므로,

카이제곱통계량을 사용하기로 합니다.

 

가설을 검정할 때 사용하는 통계량이므로,

검정통계량이라고 합니다.

 

분산의 검정에 사용되는 카이제곱분포는,

아래 글을 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/41

[python/파이썬] 카이제곱분포

 

우리는 가설이 타당한지 여부를 결정해 줄 검정통계량으로

카이제곱분포를 정했습니다.

 

카이제곱분포는 그래프의 면적이 확률을 나타내는 확률분포이며,

자유도에 따라 달라지는 카이제곱분포의 개형은 다음과 같습니다.

예제에서의 자유도는 표본의 크기인 5에서 1을 뺀 4입니다.

 

자유도에 대해서는

다음 글을 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/39

[python/파이썬] 카이제곱분포로 가는 표본분산 분포의 평균

 

카이제곱분포는

좌우가 비대칭인 비정규분포입니다.

 

카이제곱분포는 확률분포로서

그래프 아래의 면적이 곧 확률입니다.

 

일반적으로는 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

통계적으로는 발생할 확률이 없다고 판단합니다.

 

지금은 양측검정이므로,

양쪽 극단의 2.5%를 비교합니다.

통계적으로는 95%의 확률로

통계초등학교 저울의 분산과 정상저울의 분산이 같다고 예상(귀무가설)하며,

검정통계량이 나머지 5%에 속하는 경우에 한해서,

통계초등학교 저울의 분산과 정상저울의 분산이 다르다고 할 수 있습니다.

 

왼쪽 극단의 2.5%에 해당하는 카이제곱 검정통계량 값은 다음과 같습니다.

오른쪽 극단의 2.5%에 해당하는 카이제곱 검정통계량 값은 다음과 같습니다.

 

 

<가설검정 3단계> 유의수준 설정

 

우리는 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

가설을 받아들이지 않기로 하였습니다. 

 

이때 기준이 되는 확률이 바로 유의수준입니다.

 

유의수준은 보통 %로 표시하지 않고,

소수점으로 표현하므로

5% 대신 0.05로 표기합니다.

 

만약 통계초등학교 저울과 정상저울의 분산이 같다고 가정한

카이제곱검정통계량이 양 극단의 2.5% 이내의 구간에 포함된다면,

기존가설(귀무가설)을 받아들이지 않기로 하겠습니다.

 

우리는 현재 통계초등학교 저울의 분산과 정상저울의 분산을 비교하는 중이며,

분산이 같다고 가정한 기존 가설의 발생확률이

5%도 되지 않는다면,

기존가설을 받아들이지 않는 것이 타당하기 때문입니다.

 

그러나 우리가 기준으로 삼은 검정통계량이

0.4844185570879299 보다 크고,

11.143286781877796 보다 작은 구간에 속한다면,

기존 귀무가설을 받아들이도록 하겠습니다.

 

 

<가설검정 4단계> 검정통계량 계산

이를 수식에 대입하면 다음과 같으며,

이번 예제의 검정통계량 값은 약 4.8입니다.

참고로 파이썬에서는 카이제곱 모분산 검정통계량을 별도로 계산해주는 메서드는 없으므로,

직접 수식에 대입하여 값을 얻어야 합니다.

 

 

<가설검정 5단계> 통계적 판단

우리는 기준으로 삼은 검정통계량이

0.4844185570879299 보다 작거나,

11.143286781877796 보다 큰 구간에 속한다면,

기존 귀무가설을 받아들이지 않기로 하였습니다.

 

검정통계량이  약 5.76이고, 이는

0.4844185570879299 보다 크고,

11.143286781877796 보다 작은 구간에  속하므로

통계초등학교 저울의 분산과 정상저울의 분산은 같다는

기존 귀무가설을 기각할 수 없습니다.

 

이를 통계적인 표현으로는

귀무가설을 채택한다고 표현합니다.

 

가설의 기각여부는 귀무가설을 중심으로 표현하지만,

결론은 대립가설을 기준으로 표현합니다. 

 

따라서 이번 예제의 결론은 다음과 같습니다. 

 

유의수준 5%에서 검정결과,

통계초등학교 저울의 분산은

정상저울의 분산과는 다르다는

대립가설을 기각합니다.

 

즉, 표본에서 통계초등학교 저울의 분산이

정상저울의 분산보다 높게 나왔으나,

통계적으로 통계초등학교 저울의 오차와

정상저울의 오차는 같은 수준이므로,

오차를 사유로 새 저울을 구매하는 것은

적절하지 않습니다.