[python/파이썬] 모분산을 아는 경우 모평균 검정 예제

작년도 우리나라 2학년 학생의 키를 조사한 결과,

평균이 130cm이며, 표준편차가 12cm였습니다. 

 

올해 통계초등학교 2학년 학생 36명의 키를 조사한 결과,

표본평균은 125cm였습니다.

정확하게 평균을 125cm으로 맞추는 것은 많은 연산을 필요로 합니다. 

numpy의 np.random.normal을 반복하여, 원하는 값이 나올 때까지 찾습니다.

첫번째 인수는 평균이며,

두번째 인수는 표준편차이며,

세번째 인수는 표본의 크기입니다.

 

np.random.normal은 연산 시마다 다른 값이 나오므로,

이 값을 고정시켜주는 np.random.seed를 활용합니다. 

 

본 표본에서는 1393189번 난수를 생성했을 때,

원하는 평균(반올림 후 소수점 5자리까지 0)에 도달하여,

해당 번호로 seed를 고정하고 

표본을 생성하였습니다.

다시 가설검정으로 돌아와서,

작년의 평균과 같이 올해의 평균을 130cm로 가정해도 괜찮을까요?

 

우리나라 2학년은 우리가 알고자 하는 모집단입니다.

 

이러한 모집단의 특성을 보여주는 평균, 표준편차, 분산 등을 모수라고 합니다.

각각의 모수는 모평군, 모표준편차, 모분산이라고 부릅니다.

 

모수에 대해서 펼치는 주장을 가설이라고 합니다.

 

모수에 대해서 새로운 주장을 한다면,

기존의 주장과는 대립되므로 대립가설이라고 합니다.

 

만약 대립가설이 타당하지 않다면,

기존의 주장으로 돌아가게 되므로, 기존의 주장을 귀무(歸無)가설이라고 합니다.

돌아갈 귀(歸)와 없을 무(無)의 귀무이며,

돌아가서 보니 변한건 없다는 의미입니다.

 

 

<가설검정 1단계> 귀무가설과 대립가설 설정

 

귀무가설은 다음과 같습니다.

우리나라 2학년 학생의 키의 평균은 130cm이다.

 

대립가설은 다음과 같습니다.

우리나라 2학년 학생의 키의 평균은 130cm가 아니다.

 

 

이제는 새로운 주장인 대립가설이 맞는지 확인할 통계 수단을 찾아야 합니다.

 

우리는 통계초등학교 2학년의 표본만 살펴볼 예정이므로,

단일표본입니다. 

 

우리는 우리나라 2학년 의 표준편차가

12cm라는 사실을 알고 있습니다.

 

모분산은 표준편차의 제곱이므로 144입니다.

 

통계초등학교 2학년 학생의 표본수는 30 이상이므로,

정규분포를 따를 것입니다.

 

 

<가설검정 2단계> 검정통계량 설정

 

표본이 단일표본이고 정규분포를 따르며,

모분산을 알고 있으므로, 

표본평균을 표준화한 Z통계량을 사용하기로 합니다.

 

이를 가설을 검정할 때 사용하는 통계량이므로,

검정통계량이라고 합니다.

평균을 0으로, 표준편차를 1로 표준화한 표준정규분포는,

아래 링크를 참조 부탁드립니다.

https://gilber.tistory.com/32

[python/파이썬] 정규분포

 

우리는 가설이 타당한지 여부를 결정해 줄 검정통계량으로

표준정규분포를 정했습니다.

 

표준정규분포는 그래프의 면적이 확률을 나타내는 확률분포이며,

그래프의 개형은 다음과 같습니다.

 

평균을 0으로, 표준편차를 1로 표준화하였으므로,

좌우대칭인 정규분포에서 기준은 0이 되며,

기준을 중심으로 +1, -1 사이에 자료값들이 분포가 되어있습니다.

 

그래프 아래의 면적이 곧 확률이므로,

기준에서 멀어질수록 확률은 줄어들게 됩니다.

 

일반적으로는 발생할 확률이 5%도 채 되지않는다면,

통계적으로는 발생할 확률이 없다고 판단합니다.

 

그리고 좌우대칭인 정규분포에서 보면,

양 극단에 2.5% 내의 확률로 발생하는 사건도,

통계적으로는 발생할 확률이 없다고 판단합니다.

 

양 극단의 2.5%에 해당하는 Z통계량 값은 다음과 같습니다.

왼쪽 기준으로 2.5%인 곳과 97.5%인 곳의 값을 기준으로 하게되며,

좌우대칭인 정규분포이므로, 각각의 값은 부호를 달리할 뿐 같습니다.

 

실제 모든 소수점을 표기하기 번거로우므로,

보통 +/- 1.96으로 표기합니다.

 

 

<가설검정 3단계> 유의수준 설정

 

우리는 발생할 확률이 5%도 채 되지 않는다면,

가설을 받아들이지 않기로 하였습니다. 

 

이 때 기준이 되는 확률이 바로 유의수준입니다.

 

유의수준은 보통 %로 표시하지 않고,

소수점으로 표현하므로

5%대신 0.05로 표기합니다.

 

다만, 양 극단에 해당하는 경우,

모두 발생할 확률이 희박하다는 의미이므로,

0.05를 반으로 나눠서 양 극단에서 0.025 떨어진 곳에 해당하는 경우에

기존가설(귀무가설)을 받아들이지 않기로 하겠습니다.

 

우리는 현재 작년의 평균을 믿어도 괜찮은지 판단하는 중이며,

작년의 평균을 기준으로 발생할 확률을 살펴보았으나,

발생확률이 5%로도 되지 않는 경우라면,

기존가설을 받아들이지 않는 것이 타당하기 때문입니다.

 

즉 우리가 기준으로 삼은 검정통계량이

-1.9599639845400545  보다 적거나,

+1.9599639845400545 보다 많은 경우에는 

기존 귀무가설을 받아 들이지 않기로 하겠습니다.

 

 

<가설검정 4단계> 검정통계량 계산

 이번 예제의 검정통계량 값은 -2.5입니다.

 

파이썬에서는 Z 검정통계량을 별도로 계산해주는 메서드는 없으므로,

직접 수식에 대입하여 값을 얻습니다.

표본의 평균이 정확하게 125cm이 아니고,

125.0000039879613이어서 일부 차이는 발생하나,

검정통계량은 거의 일치합니다.

 

 

<가설검정 5단계> 통계적 판단

우리는 기준으로 삼은 검정통계량이

-1.9599639845400545  보다 적거나,

+1.9599639845400545 보다 많은 경우에는 

기존가설(귀무가설)을 받아 들이지 않기로 하였습니다.

 

검정통계량이 -2.5이므로,

-1.9599639845400545보다 작기 때문에,

우리나라 2학년 학생들의 키의 평균이 130cm이라는 

기존 주장은 통계적으로는 받아들이기 어렵습니다.

 

이를 통계적인 표현으로는

귀무가설을 기각한다고 표현합니다.

 

가설의 기각여부는 귀무가설을 중심으로 표현하지만,

결론은 대립가설을 기준으로 표현합니다. 

 

따라서 이번 예제의 결론은 다음과 같습니다. 

 

유의수준 5%에서 검정결과,

우리나라 2학년 학생의 키의 평균은 130cm가 아니라고 할 수 있습니다.